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捉摸不定的股價變化
股票價格變化跟常態分配有多密切的關係？要判斷股價變動是否確實獨立於其他條件之外，必須觀察它是否符合常態分配曲線。有相當可觀的證據肯定股價是落在常態曲線上。但新資訊以隨機的方式出現，使股價的動向完全無法預測。
1950年代，芝加哥大學教授羅伯斯（Harry Roberts）提出支持這個觀點的有趣證據。他設計了一個與股市價格變動有相同平均值與相同標準差的數列，並用電腦從這個數列隨機取樣，同時根據這些亂數的起落畫出一個表。結果與股市分析家預測市場動向時使用的線型圖完全相符。真正的價格波動與電腦選取的亂數，根本無法區分。正如摩根（J. P. Morgan）的名言：「凡是市場，就會波動。」股市是個變化多端的地方，上漲下跌存在著許多變數。其次，上漲趨勢所受的觀察總比下跌趨勢多：一般而言，股市上漲的時候也比下跌多。
隨機漫步
常態分配對「隨機漫步假設」（random-walk）是一種更嚴格的考驗。但有一點很重要。即使「隨機漫步現象」能有效的描述股市的現實──即使股價的變動完全符合常態分配的原則──平均值也不會是零。多頭的走勢是意料中事。長期持有股票，投資人的財富會隨著經濟和企業營收成長而增加，也因為股價波動向上比向下多，所以股價的平均變化應該是個正值。
逐年的數據顯示，每一年度的股價變動沒有典型可言。變化的幅度以7.7％為平均值，起落毫無秩序可言。標準差是19.3％。換言之，在任何1年中，股價會有三分之二的時間在正27％與負12.1％的範圍裡波動。雖然只有2.5％的機會──亦即40年裡只有1年──股價上漲46.4％，但所幸也只有2.5％的時間出現市場大空頭，股價下跌31.6％。
抽樣的70年間，有47年股價上揚，亦即三分之二的機會。換言之，有23年股價是下跌的：但其中只有10年（或將近一半），股價跌幅超過標準誤差──亦即超出12.1％。事實上，壞年頭的平均跌幅為15.2％。
70次觀察是否能提供充分的證據，夠我們確認股市的行為模式可視為「隨機漫步」？也許不能。只有大規模的試驗，理論與實際才可能開始契合。
據280條季線的觀察，比年線更接近常態曲線。儘管如此，各數據還是分散得很開，而且毫無對稱之感，只是一小撮變化很大的數字。每季的平均變化是2％，但標準差是12％，由此可知，我們根本不能預期每季的波動會符合2％這個標準。45％的季波動小於2％，而55％大於2％。
假設1位投資人購買1套股票組合，並持股70年，其收益會相當可觀，但冀望每3個月賺2％的投資人則是個傻瓜。
840個月的波動就比年或季的變化來得密集，看起來也更有秩序。每月平均變動是正0.6％。如果我們從每次觀察減掉這麼多，以校正長期以來市場自然的上升趨勢，平均變化就是正0.0000000000000002%，旺月是50.6％，而衰月是49.4％。觀察第1組四分位數（quartile），有204次位於平均數之下，即負2.78％，觀察第3組四分位數也有204次位於平均點之上，即正2.91％。可說是相當完美的對稱。
840個月變動的隨機性質，也可從上漲或下降趨勢很少能持續到2個月的現象，獲得證實。只有半數情況下，連續2個月，股價朝同一方向移動；僅10％的情況，股價會朝同一方向移動持續5個月之久。因此，至少根據這840個月的變動而言，股市紀錄與「隨機漫步」類似。要是股價波動不互相獨立，數據就不會以這種方式──就像是丟骰子──沿平均值分布。校正過上升趨勢後，變化就微乎其微；與時間對應的變動指數，跟理論的預期非常接近。
預估股票風險
假設我們採用傑可伯·伯努利的限制，即未來會與過去類似，就可以計算任何1個月，特定股票的風險。標準普爾指數表中，股價的平均月波動是0.6％，標準偏差是5.6％，如果價格波動隨機分布，就有68％的機會，任1月的價格跌幅不超過負5.2％，漲幅也不超過正6.4％。假設我們要知道任何1個月股價下跌的機率，答案是45％──或略少於半數的時間。但同1個月跌幅超過10％的機率，僅3.5％，亦即每30個月才會發生1次；每15個月會出現1次上漲或下跌超過10％的現象。
事實上，我們觀察的840個月中，有33個月（或4％），波動超過月平均值正0.6％ 2個標準差，亦即跌幅超過11％，或漲幅超過12.2％。雖然33次的大幅波動少於一般對完全隨機觀察的預期，但其中有21次是下跌；而純從機率考慮，應該是16次或17次才對。一個擁有與生俱來的上升趨勢的市場，在816個月之中，發生的災難次數應該少於16次或17次才對。
從極端的角度而論，市場不是「隨機漫步」；從極端的角度而論，市場較可能毀滅財富，而不是創造財富。股市是個高風險的地方。
分辨常態與非常態
截至目前為止，我們的故事一直與數字有關。我們討論的主題是機率，而非不確定性。股市看起來很像隨機漫步，但這方面的相似性非常不完美。某些情形下，平均值可充作有用的指南，但在很多其他情形下卻造成誤導。還有些數字根本派不上用場的情況，我們唯有靠猜測向未來匍匐前進。
不過，這不代表數字在現實生活裡沒有用。要緊的是有能力判斷它何時有影響，何時則無。所以我們現在得解答一整套的新問題。例如，我們該用哪種平均數界定股市的正常表現？股市連續上漲5個月的難得情況又如何呢？「漲多必跌」當真是必然？一家陷於困境的公司整頓成功的機會多大？亢奮的躁鬱症患者是否不久就又會墜入憂鬱症的情緒谷底，而且交替循環？市場榮景是否即將捲土重來？
這些問題的答案，都決定於分辨常態與非常態的能力。很多冒險行為都仰賴從偏離常態發展出來的機會。分析家告訴我們，他們最看好的股票價格被「低估」，真正的意思是，投資人可以馬上買進這支股票，等它的價格回升到正常水準。另一方面，躁鬱症這種心理疾病可能一輩子都不會好。正如1932年的美國經濟，一點振興的生機都沒有，連胡佛總統和他的顧問都認為，政府再怎麼鼓勵和干預，充其量不過是妨礙它自行找到復甦的途徑罷了。
書籍簡介_風險之書：看人類如何探索、衡量，進而戰勝風險
作者： 彼得．伯恩斯坦（Peter L. Bernstein）
譯者： 張定綺
出版社：商業周刊
出版日期：2019/04/18
作者簡介_彼得．伯恩斯坦（Peter L. Bernstein）
投資哲學家、金融史學家、經濟學家與教育家。
彼得．伯恩斯坦曾以優異成績取得哈佛經濟學院學士學位，獲選美國大學優等生榮譽學會會員。1951年在威廉斯學院講授經濟學，並於商業銀行體系工作五年後，在知名投資諮詢公司擔任執行長，為散戶與機構投資組合管理數十億美元的資金。1973年離職時，管理資金規模成長達到十倍以上，之後創辦彼得．伯恩斯坦公司（Peter L. Bernstein, Inc.）。發行《經濟學與資產組合策略》（Economics & Portfolio Strategy）雙月刊，執筆分析資本市場的最新動態。
出版過十本財經書籍。其中，《風險之書》曾獲選為1996年最具洞察力的管理類書籍，榮獲布茲獎，1998年因為對風險與保險研究的傑出貢獻獲頒凱爾普／賴特紀念獎，全球銷量逾50萬本。
彼得．伯恩斯坦已於2009年與世長辭，享年90歲。
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